Финансовые расчеты при аннуитетных платежах

При финансовых операциях часто бывает, что платежи поступают или их необходимо вносить с заданной периодичностью в продолжение определенного количества лет (периодов). Например, приобретается оборудование на условиях, что за него необходимо выплачивать определенную сумму ежегодно в течение нескольких лет. Или продаем недвижимость, за которую нам ежегодно, с заданной периодичностью, будут выплачивать договорные суммы. Таким образом, платежи поступают в виде серии нескольких одинаковых по размеру выплат в течение нескольких равных промежутков времени. При этом каждая выплата может быть вновь инвестирована (или внесена в банк ) с тем, чтобы на нее начислялись проценты (сложные)

Серия платежей, произведенная в фиксированные интервалы времени за определенное количество периодов называется аннуитетом.

Аннуитетные платежи могут быть платежами ежегодными, полугодовыми, ежеквартальными и за другие промежутки времени. Иногда эта система платежей известна под названием рента.
По аналогии с изложенным выше возможно определение настоящей и будущей стоимости аннуитета (настоящей и будущей стоимости этого денежного потока).
Будущая стоимость аннуитета, приносящего доход в течении n лет с постоянными выплатами дохода D в условиях, когда на эти выплаты впоследствии начисляется процент k, складывается из суммы (совокупности) будущих стоимостей каждой выплаты по аннуитету.

Будущая стоимость аннуитета определяется как сумма будущих стоимостей всех выплат за определенное количество периодов.

Пример 11
Определить будущую стоимость аннуитета с ежегодными поступлениями 100 грн. за четыре года при начислении 3% годовых.
В последний год проценты не начисляются, так как закончился срок аннуитета. Таким образом, ежегодно поступает определенная сумма, на которую до конца срока аннуитета начисляются проценты.
Будущую стоимость аннуитета можно определять по формуле:

FVa= D* FVIFA ( 5 )

где FVIFA — фактор (коэффициент) будущей стоимости аннуитета, который может определяться по соответствующей таблице аналогично процентному фактору будущей стоимости, приведенному выше, в зависимости от ставки размещения и срока.
Если воспользоваться таблицей для вычисления приведенного выше примера, то значительно упростим вычисления и получим:

FVa = 100* 4,1836 =418,36 грн.,

где FVIFA = 4,1368
Аналогично настоящей стоимости инвестиций можно определить настоящую стоимость аннуитета PVa, основанного на выплате n раз равномерных платежей, то есть серии платежей при дисконтной ставке d.

Настоящая стоимость аннуитета определяется как сумма настоящих стоимостей выплат по аннуитету за определенное количество периодов.

Настоящая стоимость аннуитета обычно определяется по формуле:

PVa = D *PVIFA, ( 6 )

где PVIFA — фактор (коэффициент) настоящей стоимости аннуитета, который описанным выше способом определяется по таблице в зависимости от дисконтной ставки и количества периодов.
Отметим, что настоящая стоимость аннуитета — это сумма, которая была первоначально инвестирована для получения оговоренных равномерных платежей.
В сокращенном виде таблица определения коэффициента (процентного фактора) настоящей стоимости аннуитета в зависимости от срока и дисконтной ставки имеет следующий вид:
Исходя из этой таблицы можно, например, определить, какую сумму необходимо вложить, чтобы получать равномерные платежи в течение определенного числа периодов. Рекомендуем читателям обратить внимание, как меняется фактор настоящей стоимости аннуитета в зависимости от числа периодов и дисконтной стваки.
Следует иметь в виду, что платежи по аннуитету могут поступать в конце каждого периода и такие платежи называются обычными или отсроченными. Также платежи могут поступать в начале каждого периода (авансовые). В данном пособии мы рассматриваем в основном отсроченные (обычные) платежи.
Фактор будущей стоимости аннуитета также называют коэффициентом наращения аннуитета (ренты) и его можно определять как по таблице, так и по следующему выражению:

(1+k)n -1
FVIFA = , ( 8 )
k

где k — коэффициент наращения.

Аналогично фактор настоящей стоимости аннуитета называют также коэффициентом приведения и его можно определять по следующему выражению:

1+(1+d)-n
PVIFA = , (9)
d

где d — необходимая ставка дохода (дисконтная ставка).

Пример 12
Определить будущую стоимость аннуитета за четыре года при ежегодных платежах 1400 долл. и процентной ставке 5%.

FVa = 1400* 4,3101 = 6034,14 долл.

Пример 13.
Определить настоящую стоимость аннуитета за четыре года при ежегодных платежах 1400 долл. и дисконтной ставке 5%.

PVa = 1400 * 3,5460 = 4964,4 долл.

В примерах 12 и 13 коэффициенты настоящей и будущей стоимости принимались по таблицам. Следует обратить внимание, что фактическая сумма платежей равна 5600 долл. (1400 х 4), что существенно отличается от настоящей и будущей стоимости аннуитета.

Вечный аннуитет или вечная рента

Вечный аннуитет или вечная рента является определенной суммой денег, которая поступает постоянно, без указания срока окончания этих платежей, с регулярной периодичностью. В качестве примера вечной ренты можно рассматривать консоль — вечную облигацию, которая более 200 лет назад была выпущена британским правительством для консолидации старых долгов и по настоящее время обращается на рынке.
Также дивиденды по привилегированным акциям можно рассматривать как пример вечной ренты и настоящая стоимость такой "вечной" последовательности дивидендов является настоящей стоимостью привилегированной акции.
Настоящая стоимость вечной ренты определяется по формуле:

D
PVp = ( 10 )
d

Пример 14.
Определить текущую (настоящую) стоимость вечной ренты с ежегодными поступлениями 20 долл. при дисконтных ставках 8% и 12%.

PVp =20 / 0,08 = 250 долл.
PVp =20 / 0,12 = 166,6 долл.

Из примера 14 видно, что при увеличении дисконтной ставки происходит снижение текущей стоимости вечной ренты. Это связано с тем, что увеличивается риск инвестиций и настоящая стоимость, по которой в настоящее время инвестор готов оценить и приобрести такую ренту, пропорционально снижается при постоянных ежегодных поступлениях по данной ренте. Соответственно, при снижении дисконтной ставки происходит рост настоящей стоимости вечной ренты.

Можно сказать, что цена активов определяется как настоящая стоимость их будущих денежных потоков.

Если настоящая стоимость денежного потока от актива с учетом уровня риска, определяемого дисконтной ставкой или необходимой ставкой доходности, ниже, то и настоящая стоимость такого актива ниже.
Рассмотрим ряд примеров по расчету настоящей и будущей стоимости аннуитетов.

Пример 15.
Определить настоящую стоимость вечной ренты при ежегодных платежах 3,84 тыс. грн. и дисконтной ставке 22%.
PVp = 3,84 /0,22 = 17,45 тыс. грн.

Пример 16.
Определить целесообразность покупки привилегированных акций компаний "АБ" и "ВС" на 5 лет при условии:
акции "АВ" приносят ежегодный доход 1000 грн. при ставке дисконта 10%;
акции "ВС" приносят ежегодный доход 1025 грн. при ставке дисконта 12%.
В связи с тем, что указан вероятный срок инвестирования, данные привилегированные акции рассматриваются не как вечная рента, а как обычный аннуитет на пять лет.
Величину коэффициентов настоящей стоимости принимаем по таблице.
Акции "АВ" PVa =1000 * 3,791 = 3,791 грн.
Акции "ВС" PVa =1025 * 3,605 = 3,695 грн.
Следовательно, из соотношения риска (величина риска характеризуется дисконтной ставкой) и дохода следует выбирать акции "АБ", настоящая стоимость дохода по которым выше (но при этом необходимо учитывать стоимость продажи этих акций, но этот вопрос рассмотрим далее).

Пример17.
Сравнить настоящие стоимости предстоящих ежегодных платежей в 1000 долл. при дисконтной ставке 5% в течении трех и четырех лет:
Три года PVa = 1000 *2,723 = 2723 долл.
Четыре года PVa = 1000 * 3,546 = 3546 долл.

Неравномерные денежные потоки

Часто необходимо рассмотреть настоящую или будущую стоимость денежного потока, по которому периодические поступления отличаются между собой по величине. Условно такой неравномерный денежный поток часто называют аннуитетом с неравномерным денежным потоком.

Настоящая стоимость аннуитета с неравномерным денежным потоком равна сумме настоящих стоимостей всех платежей.

Пример 18
Расчет аннуитета с неравномерным денежным потоком.
Определить настоящую стоимость денежного потока, если дисконтная ставка составляет 6% и ожидается следующее поступление денег: 1 год -100долл., со второго по 6 год — по 200 долл. и 7 год 1000 долл.

1 год 100 * 0,9434 = 94,34 долл.
2 год 200* 0,8900 = 178,00 долл.
3 год 200* 0,8396 = 167,22 долл.
4 год 200* 0,7921 = 158,42 долл.
5 год 200* 0,7050 = 149,46 долл.
6 год 200* 0,6651 = 141,00 долл.
7 год 1000 * 0,6651 = 665,1 долл.

Итого настоящая стоимость этого аннуитета равна 1559,24 долл. (при общей сумме выплат 2100 долл.). Настоящую стоимость каждого платежа определяем в соответствии с таблицами коэффициентов настоящей стоимости денежных потоков.
Если в данном примере сравнить второй год с шестым, то можно сделать вывод, что значительно важнее получать более высокий доход в первые годы, чем в последние. Суммарная настоящая стоимость такого денежного потока будет выше.

Пример 19.
Фирма ожидает получить от инвестиций следующие суммы в ближайшие четыре года: 1 год -1000грн.; 2 год — 1200 грн.; 3 год — 900 грн.; 4 год — 750 грн. При дисконтной ставке 10% определить суммарную настоящую стоимость этого денежного потока.

Номинальная, реальная и эффективная ставки доходности

При расчете доходности инвестиций за некоторый период времени мы обычно получаем номинальную процентную ставку, которая не учитывает влияния инфляции за данный период. Но если при этом необходимо учитывать влияние инфляции, то по номинальной ставке определяется реальная доходность инвестиций, которая показывает доходность в постоянных ценах.
Величина реальной доходности rp (реальной процентной ставки) определяется по следующей формуле:

rp = ( r — p ) / (1 — p ), ( 11 )

где r — номинальная ставка процента;
p — уровень инфляции, %.

Пример 20
Номинальная доходность инвестиционного проекта составила r= 22%, средний уровень инфляции за этот период был p =8%. Определим реальную доходность проекта.

rp = (0.22 — 0.08) / (1 + 0.08) = 12.96%

Из этого примера видно, что в результате влияния инфляции реальная доходность, которую получил инвестор, меньше номинальной. Добавим, что эту реальную доходность необходимо сравнивать с ценой денег, со стоимостью кредита для этих инвестиций.
Определенная нами реальная ставка процента представляет собой свободную от инфляции ставку. Ориентируясь на эту ставку, инвесторы могут вместо потребительских расходов производить инвестиции своих свободных средств. Реальная ставка процента не является статичной во времени. Она изменяется в соответствии с общей экономической неопределенностью и в связи с изменениями в альтернативах потребительских расходов инвесторов.
Если по какомуто финансовому инструменту или вложению начисляется определенный доход и выплаты осуществляются несколько раз в год (например, 2 раза или 12 раз в год), то фактическая доходность такой инвестиции с учетом реинвестиции этих выплат будут выше, чем аналогичный доход с выплатой один раз в год.
Чистый годовой доход в этом случае будет равен:

re = (1 + r / m)m — 1 ( 12 )

где m — количество выплат в год.
Величина re , рассчитанная по формуле 11, называется эффективной ставкой доходности.

Пример 20
Определить эффективную ставку доходности, если r = 12% годовых при выплате 4 раза в год.
re = (1 + 0.12 / 4)4 — 1 = 12,55% годовых.
Если в этом случае выплаты производятся 2 раза в год, то эффективная ставка доходности будет равна:
re = (1 + 0.12 / 2)2 — 1 = 12,36% годовых.
Таким образом, величина эффективной ставки доходности зависит от периодичности выплат и чем чаще они производятся, тем больше будет эффективная ставка.