Настоящая и будущая стоимость денег

Известно, что в условиях рыночной экономики капитал имеет денежную оценку и должен приносить доход владельцу. Однако стоимость денег в текущий момент времени и в отдаленном будущем, стоимость этого дохода, полученного от вложенной в бизнес определенной суммы денег в разное время, различна, то есть со временем деньги теряют свою стоимость, свою покупательную способность

Сегодня на определенную сумму денег чаще всего можно купить товаров больше, чем, возможно, на эту же сумму приобрести товаров и услуг через некоторое время. Поэтому одна из основных проблем, с которой сталкивается каждый, кто работает на финансовом рынке, заключается в адекватной оценке будущей стоимости имеющихся сегодня денежных средств и настоящей стоимости определенной суммы, которая может быть получена в будущем.

Простые и сложные проценты при финансовых вычислениях

На стоимость денег влияют следующие основные факторы:
1. Возможность получения прибылей.
2. Временные приоритеты потребителей — потребность иметь средства на текущие расходы в настоящее время, чем получать неопределенные доходы в будущем.
3. Риск как вероятность потерь, вероятность того, что может пропасть основная сумма или доходы от нее будут меньше ожидаемых.
4. Инфляция — ожидаемый в будущем уровень инфляции, потеря покупательной способности денег.
Поэтому необходимо иметь соответствующий инструментарий для определения и сравнения стоимости денег в текущий или начальный момент времени (сегодняшнюю стоимость) и их стоимости в будущем, когда будет получен доход по этим бумагам, через точно определенный момент времени.
Приведенная или сегодняшняя стоимость будущих денежных платежей — это денежная сумма в текущих единицах, которая в результате инвестирования под заданную ставку процента возрастает к будущей дате до величины будущих денежных платежей.
Инвестирование бывает под простые и сложные проценты.

При инвестировании под простой процент процентный доход на полученные (или начисленные) проценты не начисляются.

Предположим, что мы инвестируем сегодня 100 грн. на один год под 12% годовой ставки с выплатой процентов два раза в год. К концу года 100 грн. вырастут до 112 грн. [100 х (1+0.12) = 112 грн]. Если мы инвестируем не на один, а на несколько лет, то при простых процентах доход ежегодно будет определяться исходя из начальной суммы (в данном случае — 100 грн.).
Величина 112 грн. — это будущая стоимость (future value) вложенных сегодня 100 грн. через один год при условии, что ставка процента равна 12% и проценты на проценты не начисляются.
Бывает, что необходимо определить, сколько денег нужно инвестировать сегодня, чтобы получить определенную сумму в будущем. Пусть мы хотим получить в конце года 100 грн. при ставке простого процента, равной 12%, и начислении процентов два раза в год.
Эта сумма определяется следующим образом: 100 / (1+0,12) = 89,28 грн.
Сумма 89,28 является настоящей (сегодняшней) стоимостью суммы 100 грн. для определенных периода времени и процентной ставки.
Настоящая и будущая стоимость денежных платежей при инвестировании под сложные проценты определяются из условия, что процентные платежи при этом реинвестируются по соответствующей ставке (как говорят, начисляются проценты на проценты). В дальнейшем все вычисления мы будем вести при условии начисления сложных процентов.

Настоящая и будущая стоимость денег

Обозначим начальную стоимость денег или инвестиций PV (present value).
Это настоящая стоимость (начальная) на сегодняшний день будущих доходов с поправкой на риск. Эту величину часто называют приведенная или текущая стоимость.
Обозначим будущую стоимость вложенных средств после того, как на них будут начислены проценты (получен доход) FV (future value). Это будущая стоимость вложенных денег через определенный промежуток времени с начисленными по определенной ставке процентами (конечная стоимость).
Обозначим процентную ставку, по которой начисляется доход, буквой k (часто эту величину обозначают буквами i или r и называют ставкой размещения).
Количество периодов, за которые начисляется доход, обозначаем буквой n.
При условии, что расчеты ведутся по схеме сложных процентов, при этом годовой доход не изымается, то есть проценты реинвестируются и на них также начисляются проценты, формула для определения будущей стоимости будет иметь следующий вид:

FV = PV (1+k)n (1)

В этой формуле выражение (1+k)n называется процентным фактором будущей стоимости (или коэффициент будущей стоимости и часто обозначается аббревиатурой FVIF). Этот коэффициент показывает, сколько будет стоить одна денежная единица через n лет. Процентный фактор будущей стоимости может определяться обычным расчетом (для этой цели существуют специальные финансовые калькуляторы) или по таблицам, которые имеются во многих финансовых учебниках и справочниках.
В очень сокращенном виде такая таблица определения фактора будущей стоимости денег в зависимости от числа периодов и ставки размещения может иметь следующий вид:

Исходя из этой таблицы, можно сразу определить, что если вложить в банк на четыре года под 5% годовых одну гривню, то по окончании этого срока получим 1,216 грн. Это и есть будущая стоимость одной гривни при оговоренных условиях.
При расчетах по сложным процентам происходит капитализация процентов — начисление процентов на сумму инвестиций и на проценты, полученные в предыдущее время. Процесс определения будущей стоимости с использованием сложных процентов называют компаундированием.
Рассмотрим определение будущей стоимости на примере с построением так называемой линии времени.

Пример 1.
Рассчитать будущую стоимость 100 грн., вложенных в бизнес на 5 лет под 5% годовых.

Этот расчет можно было выполнить по формуле или с использованием таблицы:

FV = PV (1+k)n =100 (1+0,05)5 =127,63 или FV= PV* PVIF=100*1,2763=127,63 грн.

Таким образом, мы получили одинаковые результаты путем расчета коэффициента будущей стоимости по формуле и по таблице. Отметим, что мы в данном случае анализируем не статику денежного потока, а его динамику.
Часто возникает необходимость в исчислении первоначально авансируемой суммы исходя из известной ее стоимости в будущий момент времени.

Процесс нахождения настоящей стоимости (начальной стоимости) из будущей называется дисконтированием.

Путем несложных преобразований из формулы (1) получим:

FV 1
PV = = FV (2)
(1+d)n (1+d)n

В формуле 2 выражение 1/ (1+d)n называется процентным фактором настоящей стоимости PVIF (коэффициент настоящей стоимости), где d — ставка дисконта, или процентная ставка дохода, которая ожидается инвестором. Значение коэффициента настоящей стоимости может определяться путем расчета из выражения 1/ (1+d)n и по таблице. Часто дисконтная ставка в формулах обозначается той же буквой, как и ставка размещения (например — k или r ).
Дисконтная ставка — ставка процента, по которой будущая стоимость денег приводится к настоящей их стоимости, то есть по которой осуществляется процесс дисконтирования.

В сокращенном виде таблица определения коэффициента (фактора) настоящей стоимости в зависимости от срока и дисконтной ставки имеет следующий вид:
Исходя из этой таблицы можно сразу определить: чтобы получить через пять лет 1 грн. при дисконтной ставке 5%, необходимо сегодня вложить 0,7835 грн. Рекомендуем читателям обратить внимание, как изменяется фактор настоящей стоимости в зависимости от изменения срока вложения и дисконтной ставки. Настоящая стоимость суммы, которая должна быть получена в будущем, уменьшается, если увеличивается срок платежа и если процентная (дисконтная) ставка повышается.
Настоящая стоимость, определяемая по формуле или по таблице, это сегодняшний эквивалент некоторой суммы FV из будущего, отдаленного на n лет. Таким образом, дисконтирование — это фактически операция, обратная процессу нахождения будущей стоимости.

Пример 2.
Определить будущую стоимость 500 грн., вложенных в бизнес на 8 лет под 12% годовых.

FV = 500 (1+0,12)8 = 500 х 2,476 = 1237,98 грн.

Решение этого примера можно было производить как путем вычисления фактора будущей стоимости по формуле, так и путем определения его по таблице.

Пример 3.
Определить настоящую стоимость суммы 1237 грн., которую мы должны получить через 8 лет при дисконтной ставке к = 12% годовых.

PV = 1238 [ 1 / (1+0,12)8 ] = 1238 х 0,4038 = = 500 грн.

Таким образом, 1238 грн., которые мы получим через 8 лет, вероятно, будут иметь эквивалентную стоимость, как 500 грн. сегодня.

Пример 4.
Сколько сегодня необходимо вложить денег в бизнес, чтобы через 4 года обеспечить получение 25000 грн. при условии, что вложенные деньги будут приносить доход 20% годовых.

PV =25000 [ 1 / (1+0,2)4 ] = 12054 грн.

Таким образом, чтобы получить через 4 года 25000 грн., сегодня необходимо вложить 12054 грн. при условии, что ожидаемая доходность или ставка дисконта равна 20%.
Дисконтная ставка — это процентная ставка, которая применяется к будущим платежам, чтобы учитывать риск и неуверенность, связанные с фактором времени. Дисконтную ставку часто называют необходимой ставкой дохода. Необходимую ставку дохода принято определять как доходность не меньшую, чем доходность альтернативных вложений с аналогичным уровнем риска.

Дисконтную ставку можно определить экспертным путем:

1. Из двух будущих платежей более высокую ставку имеет тот, который поступит позднее.
2.Чем ниже определенный или вероятный уровень риска, тем ниже назначается ставка дисконта. По западным нормам принято примерно такое соответствие риска и дисконтных ставок: высокому риску соответствует дисконтная ставка 15% и больше, среднему риску — 10%, низкому уровню риска соответствует дисконтная ставка 5%. Виды риска инвестиций будут описаны в следующих статьях.
3.Если средние процентные ставки на рынке растут, то растут дисконтные ставки для рассматриваемых проектов.

Таким образом, деньги, вложенные сегодня, могут в будущем принести доход, но одновременно могут потерять свою стоимость. При этом каждая фирма должна постоянно следить за ценой капитала, так как чем дешевле она получит капитал на финансовом рынке, тем большую сумму можно вложить в инвестиционные проекты, которые принесут будущие доходы.
Если мы имеем два разных проекта с одинаковым периодом реализации и расходами, но с разными факторами риска, то можно определить их настоящую стоимость и сравнить, какой проект целесообразно выбрать.

Пример 5.
Сколько сегодня необходимо вложить в бизнес, чтобы через 3 года обеспечить получение 80000 грн. при условии, что вложенные деньги не будут изыматься и будут приносить доход 22% годовых?

PV = 80000 х 0,5507 = 44056 грн.

Пример 6.
Сколько сегодня необходимо вложить в бизнес, чтобы через 3 года обеспечить получение 80000 грн., при условии, что вложенные деньги не будут изыматься и будут приносить доход 18% годовых?

PV = 80000 х 0,6086 = 48690 грн.

Процесс компанирования

Процесс компанирования — это начисление сложных процентов чаще, чем один раз в год.

Если обозначить количество раз в год начисления сложных процентов через m, то будущую стоимость можно определить по формуле:

FV = PV (1+ k / m)mn (3)

где k — процентная ставка дохода (ставка размещения).

Пример 7.
На сумму 100 грн. ежемесячно начисляются 12% годовых. Определить будущую стоимость этой суммы через 2 года.

FV = 100 (1 + 0,12/12 )12х2 = 100 х 1,0124 = 126,97 грн.

Пример 8.
Определить FV суммы в 100 долл. при начислении 10% годовых за период 5 лет при разной периодичности начисления процентов:

1. Один раз в год

FV = 100(1+0,1)5 = 161,05 долл.

2. Два раза в год

FV = 100(1+0,1/2)5*2 = 162,89 долл.

3. Двенадцать раз в год

FV = 100(1+0,1/12)5*12 = 164,53 долл.

4. Ежедневно

FV = 100(1+0,1/360)360*5 = 164,86 долл.

Из этого примера можно сделать вывод:

При более частом начислении процентов будущая стоимость возрастает.

Для определения настоящей стоимости суммы, вложенной на определенное число лет при дисконтной ставке d и начислении процентов несколько раз в год, следует пользоваться следующей формулой:

FV
PV = (4)
(1+ d/m)m n

При этом если сложный процент начисляется чаще, чем один раз в год, то настоящая стоимость суммы падает.

Пример 9.
Определить настоящую стоимость суммы в 100 грн., вложенных на 3 года, если проценты начисляются два и четыре раза в год из расчета дисконтной ставки 10%.

1. Два раза

PV = 100 / (1+0,1/2)2*3 = 74,62 грн.

2. Четыре раза

PV = 100 / (1+0,1/4)4*3 = 74,35 грн.

Пример 10.
За ссуду 50 тыс. грн. банк взимает первый год 40% годовых, второй год -42%, каждый последующий год по 43% годовых. Сколько необходимо будет вернуть через 5 лет?

FV = 50*(1+0,4)*(1+0,42)2*(1+0,43)3 = 50*1,4*2,016*2,924 = 412,66 тыс. грн.